题目内容
【题目】数列,定义
为数列
的一阶差分数列,其中
.
(1)若,试断
是否是等差数列,并说明理由;
(2)若证明
是等差数列,并求数列
的通项公式;
(3)对(2)中的数列,是否存在等差数列
,使得
对一切
都成立,若存在,求出数列
的通项公式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)是等差数列,理由见解析;(2)证明见解析,
;(3)存在,且
.
【解析】
(1)通过计算证得
是等差数列.
(2)根据,
得到
,利用凑配法证得
是等差数列,并求得数列
的通项公式.
(3)先求得,由此求得
,再利用组合数公式,证得
符合要求.
(1)由于,所以
,所以
,且
.所以
是首项为
,公差为
的等差数列.
(2)由于,
,所以
,即
,两边除以
得
,所以
是首项为
,公差为
的等差数列,故
,即
.
(3)存在,且符合题意.
依题意.当
时,
;当
时,
,即
,而
是等差数列,故只能
.下证
符合题意.
由于,所以根据组合数公式有
符合题意.
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