Question

20．倾斜角为45°的直线交双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）于P、Q，且PQ中点为M（1，3），A、F分别为右顶点、右焦点，若|$\overrightarrow{FP}$|•|$\overrightarrow{FQ}$|=17．
（1）求双曲线的离心率；
（2）试证：过A、P、Q三点的圆与x轴相切．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程y=x+2，代入双曲线的方程，消去y，得到x的方程，由韦达定理，结合中点坐标公式，可得b²=3a²=c²-a²，即可得到离心率；
（2）求出双曲线的右准线方程，由双曲线的第二定义，可得a=1，再求得交点P，Q的坐标，由PQ和AQ的中垂线方程，可得圆心为M，再由直线和圆相切的条件，即可得证．

解答 解：（1）设直线方程为y-3=x-1即y=x+2，
代入双曲线的方程可得，
（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=2，x₁x₂=$\frac{-4{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
即为b²=3a²=c²-a²，
即有c=2a，即有e=$\frac{c}{a}$=2；
（2）证明：双曲线的右准线方程为x=$\frac{a}{2}$，
若|$\overrightarrow{FP}$|•|$\overrightarrow{FQ}$|=17，
由双曲线的第二定义可得，e（$\frac{a}{2}$-x₁）•e（x₂-$\frac{a}{2}$）=17，
即为-a²+2a（x₁+x₂）-4x₁x₂=17，
即有5a²+4a-9=0，解得a=1（负的舍去），
则c=2，b=$\sqrt{3}$，
即有①化简为2x²-4x-7=0，
解得x₁=1-$\frac{3}{\sqrt{2}}$，x₂=1+$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
即有P（1-$\frac{3}{\sqrt{2}}$，3-$\frac{3}{\sqrt{2}}$），Q（1+$\frac{3}{\sqrt{2}}$，3+$\frac{3}{\sqrt{2}}$），
又A（1，0），
PQ的垂直平分线的方程为y=-x+4，②
AQ的中点为（1+$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2\sqrt{2}}$），
斜率为-$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=-（$\sqrt{2}$-1），
AQ的垂直平分线方程为y-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=（1-$\sqrt{2}$）（x-1-$\frac{3}{2\sqrt{2}}$），③
由②③可得交点坐标为（1，3），
即有圆心为M，且AM⊥x轴，
即圆心到x轴的距离为半径r=3，
故过A、P、Q三点的圆与x轴相切．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理，考查运算求解能力，属于中档题．