Question

8．直角坐标系xOy中，将曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$得到的曲线记为C₂，曲线C₃的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=k+1}\\{y=3-k}\end{array}\right.$（k为参数）．
（1）写出曲线C₂与C₃的普通方程；
（2）设P，Q分别是曲线C₂，C₃上的动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接将所给的曲线消去参数，化为普通方程，然后，利用伸缩变换，得到曲线C₂的方程，曲线C₃的参数方程中消去参数，得到其普通方程；
（2）可以设与直线x+y-4=0平行的直线x+y+m=0，然后，转化成平行线间的距离求解即可．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），得
x²+y²=1，
它经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$得到的曲线记为C₂，
∴曲线记为C₂的普通方程为：
$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
曲线C₃的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=k+1}\\{y=3-k}\end{array}\right.$（k为参数）．普通方程为x+y-4=0．
（2）设直线x+y+m=0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{4{y}^{2}+9{x}^{2}=36}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$，
13x²+8mx+4（m²-9）=0，
∴△=64m²-4×13×4（m²-9）=0，
∴m²=1，
∴m=±1，
∴与直线x+y-4=0平行且和椭圆相切的直线方程为x+y±1=0，
∴|PQ|的最小值为d=$\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化，直线与椭圆的位置关系等知识，考查了等价转化思想的灵活运用，属于中档题．