Question

2．已知定义在R上的增函数f（x）满足f（x）＞0，且对于任意的m，n∈R都有f（m）•f（n）=f（m+n）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证$\frac{f（m）}{f（n）}$=f（m-n）（m，n∈R）；
（3）若f（4）=4，且存在x∈[1，t]（t＞1）使得f（x²）≤$\frac{1}{8}$f（kx），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令m=n=0，f（x）＞0，解得f0）=′，
（2）令m=m-n，代入计算即可证明，
（3）令m=n=2，求出f（2）=2，原不等式转化为8f（x²）≤f（kx），即为f（6+x²）≤f（kx），根据f（x）在在R上为增函数，得到6+x²≤kx，分离参数，构造函数求出最值，问题得以解决．

解答 解：（1）令m=n=0，
则f（0）f（0）=f（0），
定义在R上的增函数f（x）满足f（x）＞0，
∴f（0）=1，
（2）∵f（m）•f（n）=f（m+n），
令m=m-n，
则f（m-n）f（n）=f（m），
∴$\frac{f（m）}{f（n）}$=f（m-n）（m，n∈R）；
（3）令m=n=2，则f（2）f（2）=f（4）=4，f（x）＞0
∴f（2）=2，
∵f（x²）≤$\frac{1}{8}$f（kx），
∴8f（x²）≤f（kx），
∴f（2）•f（4）f（x²）≤f（kx），
∴f（6+x²）≤f（kx），
∵f（x）在在R上为增函数，
∴6+x²≤kx，
∵x∈[1，t]（t＞1），
∴k≥$\frac{6}{x}$+x，
令g（x）=$\frac{6}{x}$+x，
则g′（x）=-$\frac{6}{{x}^{2}}$+1=$\frac{{x}^{2}-6}{{x}^{2}}$，
当1＜x＜$\sqrt{6}$时，g′（x）＜0，函数单调递减，
当x＞$\sqrt{6}$时，g′（x）＞0，函数单调递增，
当1＜t＜$\sqrt{6}$时，函数g（x）为减函数，
故g（x）_min=g（t）=t+$\frac{6}{t}$，
当t≥$\sqrt{6}$时，g（x）在[1，$\sqrt{6}$）上为减函数，在（$\sqrt{6}$，t）上为增函数，
故g（x）_min=g（$\sqrt{6}$）=2$\sqrt{6}$
综上所述，当1＜t＜$\sqrt{6}$，k≥t+$\frac{6}{t}$，
当t≥$\sqrt{6}$时，k≥2$\sqrt{6}$

点评 本题考查了抽象函数的问题，以及函数的单调性，分类讨论，常常采用赋值法，属于中档题．