Question

.(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中,底面为正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AD,E为棱PC上的一点,PD丄平面
(I)求证:E为PC的中点；
(II)若N为CD的中点，M为AB上的动点，当直线MN与平面ABE所成的角最大时,求二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）过作交于,由


可知
四点共面，…………………2分
又因为
∴,
∵
∴在中，,………………………4分
∴可得E为PC的中点．……………………6分
（Ⅱ）连结
连结，则为直线MN与平面ABE所成的角．
在中，
∴最小时，最大，此时．
所以M为AB中点，……………………………9分
则．
由，
可知

设，
.……………12分
法二（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系,不妨设,则，.………………2分
设,
，…………………4分
因为  , ，
，
即,.……………………6分
（Ⅱ）设，,
由（Ⅰ）知面的法向量为，
设MN与面ABE所成角为,

当t=时，最大，此时M为AB中点,…………………9分
平面NEM的法向量为 设平面CEM的法向量为
   而
    令
，
.……………………12分

略