Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．
（Ⅰ）求证：A，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠C=50°，求∠DEF的度数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明DE⊥AE，根据AF⊥DF，可得A，D，F，E四点共圆，直径为AD；
（Ⅱ）先证明∠ADB=180°-

∠BAC+∠ABC

2

=90°+

∠C

2

，再利用A，D，F，E四点共圆，可求∠DEF的度数．

解答：（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，
∴DE⊥AE，
∵AF⊥DF，
∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；
（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴∠ADB=180°-

∠BAC+∠ABC

2

=90°+

∠C

2

．
∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，
∵∠ADB=90°+∠DAF，
∴∠DAF=25°，
∵A，D，F，E四点共圆，
∴∠DEF=∠DAF=25°．

点评：本题考查四点共圆，考查角的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．