Question

5．已知函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤（$\frac{x+1}{2}$）²恒成立，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据f（-1）=0得出a-b+c=0，再根据x≤f（x）≤（$\frac{x+1}{2}$）²恒成立，
求出f（1）的值，由此求出b与a+c的值，再由x≤ax²+bx+c恒成立，求出a、c的值．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c，满足f（-1）=0，
∴a-b+c=0①，
又x≤f（x）≤（$\frac{x+1}{2}$）²恒成立，
令x=1，得1≤f（1）≤1，
∴f（1）=1，即a+b+c=1②，
由①②得：b=a+c=$\frac{1}{2}$；
又x≤ax²+bx+c恒成立，
∴ax²+（a+c-1）x+c≥0恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=（a+c-1）}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$，
∴ac≥$\frac{1}{16}$，
∴c＞0；
又a+c=$\frac{1}{2}$，
∴ac≤$\frac{1}{16}$，
∴ac=$\frac{1}{16}$，当且仅当a=c=$\frac{1}{4}$时，满足“=”成立；
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．