Question

17．已知函数f（x）满足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，则f（1）•f（2）…f（2015）=3．

Answer 1

分析 先从条件f（1）=2，$f（{x+1}）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，得到函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行求解即可．

解答 解：由$f（x+1）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，f（1）=2，
则f（2）=-3，f（3）=-$\frac{1}{2}$，f（4）=$\frac{1}{3}$，
f（5）=2，
即f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
且f（1）f（2）f（3）f（4）=1，
∴f（1）•f（2）•f（3）•…•f（2015）f（2016）=1，
即f（1）•f（2）…f（2015）=$\frac{1}{f（2016）}=\frac{1}{f（4）}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$，
故答案为：3．

点评 本题主要通过主条件的转化来考查函数的周期性来解决长式的计算问题，解决本类问题找准规律，应用性质是关键．