Question

2．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，2cos²$\frac{B}{2}$-1），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，结合两角和与差的三角函数化简，即可求解B的大小．
（2）通过余弦定理推出ac的范围．然后求解三角形的面积的最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$$⇒2sinB•（2{cos^2}\frac{B}{2}-1）+\sqrt{3}cos2B=0$，
$⇒sin2B+\sqrt{3}cos2B=0⇒2sin（2B+\frac{π}{3}）=0$（B为锐角），
$⇒2B=\frac{2π}{3}⇒B=\frac{π}{3}$；
（2）由$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{2^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$得ac=a²+c²-4，
∵a²+c²≥2ac，∴ac≤4．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
即S_△ABC的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的三角形中的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．