Question

在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．
（1）求d，a_n；
（2）若d＜0，求{|a_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，通过解方程组可求得等差数列{a_n}中的公差d，从而可求a_n；
（2）当0＜n≤6时，|a_n|=a_n，当n＞6时，|a_n|=-a_n，从而可利用等差数列的求和公式计算S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为公差为d的等差数列，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，
∴(2a2+2)2=a₁•（5a₃），即(2a1+2d+2)2=a₁•[5（a₁+2d）]，a₁=10，
∴4（11+d）²=500+100d，
∴d²+2d+4=0，
∴d=-2，
∴a_n=10+（n-1）×（-2）=12-2n．
（2）∵a_n=12-2n，
∴当0＜n≤6时，a_n≥0，此时|a_n|=a_n，
S_n=

(a1+an)×n

2

=11n-n²（0＜n≤6，n∈N^*）；
当n＞6时，a_n＜0，|a_n|=-a_n，
∴S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2S₆
=n²-11n+2×30
=n²-11n+60．
∴S_n=

11n-n2(0＜n≤6) n2-11n+60(n＞6)

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和公式与等差数列、等比数列的通项公式的应用，（2）中去掉绝对值符号是关键，也是难点，考查分类讨论思想，属于中档题．