Question

（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．
（Ⅰ）求d，a_n；
（Ⅱ）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由已知条件a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列列式求出公差，则通项公式a_n可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a_n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的和．

解答：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2，即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2，整理得d²-3d-4=0．解得d=-1或d=4．
当d=-1时，a_n=a₁+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．
当d=4时，a_n=a₁+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．
所以a_n=-n+11或a_n=4n+6；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=-1，a_n=-n+11．
则当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-

1

2

n2+

21

2

n．
当n≥12时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n+2S₁₁=

1

2

n2-

21n

2

+110．
综上所述，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

- 1 2 n2+ 21 2 n，n≤11 1 2 n2- 21 2 n+110，n≥12

．

点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．