Question

在公差为d的等差数列{a_n}中，若

a

1

=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．
（Ⅰ）求d，a_n；
（Ⅱ）若d＜0，且b_n+n=a_n，求|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|．

Answer 1

分析：（I）由a₁、2a₂+2、5a₃成等比数列，利用等比中项的定义列式：5a₁a₃=（2a₂+2）²，化简整理得d²-3d-4=0，解之得d=-1或d=4．再结合

a

1

=10利用等差数列的通项公式加以计算，可得通项a_n的表达式；
（II）由（I）的结论得a_n=-n+11，从而算出b_n=-2n+11，可得当1≤n≤5时b_n＞0且当n≥6时b_n＜0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|的表达式．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁、2a₂+2、5a₃成等比数列，
∴5a₁a₃=（2a₂+2）²，即5a₁（a₁+2d）=（2a₁+2d+2）²，
整理得d²-3d-4=0．解得d=-1或d=4．
当d=-1时，a_n=a₁+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11；当d=4时，a_n=a₁+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．
综上所述，可得d=-1、a_n=-n+11或d=4、a_n=4n+6；
（II）若d＜0，由（I）可得a_n=-n+11，
∵b_n+n=a_n，∴b_n=a_n-n=-2n+11，
①当1≤n≤5时，b_n＞0，
可得|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b_n=

n(9+11-2n)

2

=10n-n²；
②当n≥6时，b_n＜0，
可得|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b₅+（-b₆…-b_n）
=-（b₁+b₂+…+b_n）+2（b₁+b₂+…+b₅）=-

n(9+11-2n)

2

+2×

5(9+1)

2

=n²-10n+50．
综上所述，|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=

10n-n2      (1≤n≤5) n2-10n+50     (n≥6)

．

点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和运算能力，属于中档题．