题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在
上的最大值为
,求实数
的值;
(2)若对任意,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
、
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上?请说明理由。
【答案】(1)(2)
(3)对任意给定的正实数
,曲线
上总存在两点
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上
【解析】
试题分析:(1)由,得
,
令,得
或
.
列表如下:
0 | ||||||
0 | 0 | |||||
极小值 | 极大值 |
∵,
,
,
即最大值为,
. 4分
(2)由,得
.
,且等号不能同时取,
,
恒成立,即
.
令,求导得,
,
当时,
,从而
,
在
上为增函数,
,
. 8分
(3)由条件,,
假设曲线上存在两点
满足题意,则
只能在
轴两侧,
不妨设,则
,且
.
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,
,
, 10分
是否存在等价于方程
在
且
时是否有解.
①若时,方程
为
,化简得
,
此方程无解; 11分
②若时,
方程为
,即
,
设,则
,
显然,当时,
,即
在
上为增函数,
的值域为
,即
,
当
时,方程
总有解.
对任意给定的正实数
,曲线
上总存在两点
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上. 14分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目