题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于和两点.
(1)当时,求直线的方程;
(2)若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于、两点,记与的面积分别为与,求的最小值.
【答案】(1)或;(2).
【解析】
(1)设直线的方程为,设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,结合条件可求得的值,进而可求得直线的方程;
(2)设直线的方程为,设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,利用弦长公式求得,利用三角形的面积公式可求得,同理可得出的表达式,然后利用基本不等式可求得的最小值.
(1)直线过的定点在横轴上,且直线与抛物线相交,则斜率一定不能为,所以可设直线方程为.
联立,消去得,
由韦达定理得,,
所以.
因为,所以,解得.
所以直线的方程为或;
(2)根据(1),设直线的方程为.
联立,消去得,
由韦达定理得,,
则.
因为直线与直线垂直,
且当时,直线的方程为,则此时直线的方程为.但此时直线与抛物线没有两个交点,
所以不符合题意,所以.
所以直线的斜率为,可得,
,
当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.
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