题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,是等腰直角三角形,.
(I)证明:平面平面ABC;
(II)点E在BD上,若平面ACE把三棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II)
【解析】
(I)取AC的中点O,连接OD,OB,推导出,,从而为二面角的平面角,由此即可证明平面平面ABC;
(II)以O为坐标原点,OA、OB、OD分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求面面角即可.
(I)取AC的中点O,连接OD,OB,
由题设可知,是等腰直角三角形,且,从而.
所以,
又由于是正三角形,故.
所以为二面角的平面角.
在中,.
又,而,
所以.
故,所以平面平面ABC.
(II)由题设及(I)知,OA,OB,OD两两垂直,
以O为坐标原点, OA、OB、OD分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
由题设知,三棱维的体积为三棱锥的体积的.
从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得.
故.
设是平面ACE的法向量,则,即,
令,得,故.
设是平面DCE的法问量,
则,即,
令,得,,
故.
则,
所以二面角的余弦值为.
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