题目内容

【题目】如图,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,是等腰直角三角形,.

I)证明:平面平面ABC

II)点EBD上,若平面ACE把三棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.

【答案】I)证明见解析;(II

【解析】

I)取AC的中点O,连接ODOB,推导出,从而为二面角的平面角,由此即可证明平面平面ABC

II)以O为坐标原点,OAOBOD分别为xyz轴建立空间直角坐标系,利用向量法求面面角即可.

I)取AC的中点O,连接ODOB

由题设可知,是等腰直角三角形,且,从而.

所以

又由于是正三角形,故.

所以为二面角的平面角.

中,.

,而

所以.

,所以平面平面ABC.

II)由题设及(I)知,OAOBOD两两垂直,

O为坐标原点, OAOBOD分别为xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系.

.

由题设知,三棱维的体积为三棱锥的体积的.

从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即EDB的中点,得.

.

是平面ACE的法向量,则,即

,得,故.

是平面DCE的法问量,

,即,

,得

.

所以二面角的余弦值为.

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