题目内容
(本题满分14分)已知函数
的图象在点
处的切线的斜率为
,且在
处取得极小值。
(1)求
的解析式;
(2)已知函数
定义域为实数集
,若存在区间
,使得
在
的值域也是
,称区间
为
函数
的“保值区间”.
①当
时,请写出函数
的一个“保值区间”(不必证明);
②当
时,问
是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”并给予证明;若不存在,请说明理由.




(1)求

(2)已知函数









①当


②当


解:(1)∵
,
∴
…… 1 分
由
…… 4 分
∴
, 令
,解得
,
当
变化时,
,
的变化情况如下表:
∴当
时,
取得极小值。
所以,
。 …… 5 分
(2) ①
…… 7 分
②由(1)得
,
假设当x>1时,
存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,
所以
在区间
是增函数,
依题意,
于是问题转化为
有两个大于1的根。 …… 9 分
现在考察函数
则
令
又∵
∴1<
当
变化时,
,
的变化情况如下表:
所以,
在在(1
,
) 上单调递减, 在
上单调递增。 …… 12 分
于是,
,
又因为
所以,当
时,
的图象与
轴只有一个交点, …… 1
3 分
即方程
有且只有一个大于1的根,与假设矛盾。
故当x>1时,
不存在“保值区间”。 …… 14 分
(2)解法2:由(1)得
,
② 假设当x>1时,
存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,
所以
在区间
是增函数,
依题意,
于是问题转化为方程
,即
有两个大于1的根。…… 9 分
考察函数
=
(
),与函数
(
).
当x>1时,
,
所以
而函数
在区间
…… 12 分
又因为
所以
,
因此函数
=
(
)的图象与函数
(
)的图象只有一个交点。
…… 13分
即方程
有且只有一大于1的根,与假设矛盾。
故当
时,
不存在“保值区间”

∴

由

∴



当



![]() | ![]() | ![]() | ![]() | 1 | ![]() |
![]() | ![]() | 0 | ![]() | 0 | + |
![]() | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |


所以,

(2) ①

②由(1)得

假设当x>1时,

因为当x>1时,



依题意,

于是问题转化为

现在考察函数

则


又∵

∴1<

当



![]() | (1,![]() | ![]() | ![]() |
![]() | - | 0 | + |
![]() | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |




于是,


又因为

所以,当




即方程

故当x>1时,

(2)解法2:由(1)得

② 假设当x>1时,

因为当x>1时,



依题意,

于是问题转化为方程


考察函数





当x>1时,

所以

而函数


又因为


因此函数





…… 13分
即方程

故当


略

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