题目内容

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为,右焦点为,且上的动点的距离的最大值为4,最小值为2.

1)证明:.

2)若直线相交于两点(均不与重合),且,试问是否经过定点?若经过,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2)存在,.

【解析】

1)根据题意,可得,即可解得椭圆的标准方程,设,表示出,利用坐标法表示,由,即可证明

2)联立直线与椭圆的方程,运用韦达定理可得根与系数的关系,由,运用坐标相乘可得,解出的关系,进行判断即可得出结论.

解:(1)证明:由题意可得,解得

,故的方程为.

,则.

,∴.

2)解:设,联立,得

,即,且

.

,∴

,即

所以.

时,直线,此时过定点,不合题意;

时,直线,此时直线过定点.

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