Question

（2010•武昌区模拟）已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，右准线方程为x=

3

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，与y轴交于点M，且

AM

=

1

3

MB

，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）先根据双曲线的离心率求出a与c的关系，然后根据右准线方程为x=

3

3

建立等式关系，求出a与c，最后根据c²=a²+b²求出b，从而求得双曲线的方程．
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标表示公式即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）由题意，得

a2 c = 3 3 c a = 3

解得a=1，c=

3

…（3分）
∴b²=c²-a²=2．∴所求双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．…（5分）
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由

x2- y2 2 =1 x-y+m=0

得x²-2mx-m²-2=0（其中判别式△＞0）
∴x₁+x₂=2m，①x₁x₂=-m²-2．②…（8分）
设M（0，y₀），则

AM

=(-x1，y0-y1)，

MB

=(x2，y2-y0)．
由

AM

=

1

3

MB

，得-x1=

1

3

x2．③
由①②③，解得m=±1．…（12分）
所以，m=±1．…（13分）

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，以及直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查了计算能力，属于基础题．