题目内容
已知椭圆：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
分析：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
和2-
，知2a=4，2c=2
，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等．当P在y轴上时，R在x轴上，PR方程为
+
=1，
+
=1．当P在x轴上时，R在y轴上，PR方程为
+
=1，
+
=1．当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x1，kx1）、R(x2，-
x2)，P在椭圆上，
=
+
，R在椭圆上，
=
+
．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得
+
=1．故当d=1时，有
+
=1．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等．当P在y轴上时，R在x轴上，PR方程为
| x |
| a |
| y |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| x |
| a |
| y |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| k |
| 1 | ||
|
| 1 |
| a2 |
| k2 |
| b2 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| k2b2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
和2-
，
∴2a=4，a=2，2c=2
，c=
，
∴椭圆的方程：
+y2=1
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为
+
=1，d=1?
+
=1．
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为
+
=1，d=1?
+
=1．
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x1，kx1）、R(x2，-
x2)
P在椭圆上，
=
+
①；
R在椭圆上，
=
+
②
利用Rt△POR可得 d|PR|=|OP|•|OR|
即 (x1-x2)2+(kx1+
)2=(
+k2
)(
+
)
整理得
+
=1+k2．再将①②代入，得
+
=1
综上当d=1时，有
+
=1．
| 3 |
| 3 |
∴2a=4，a=2，2c=2
| 3 |
| 3 |
∴椭圆的方程：
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为
| x |
| a |
| y |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为
| x |
| a |
| y |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x1，kx1）、R(x2，-
| 1 |
| k |
P在椭圆上，
| 1 | ||
|
| 1 |
| a2 |
| k2 |
| b2 |
R在椭圆上，
| 1 | ||
|
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| k2b2 |
利用Rt△POR可得 d|PR|=|OP|•|OR|
即 (x1-x2)2+(kx1+
| x2 |
| k |
| x | 2 1 |
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
| ||
| k2 |
整理得
| k2 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
综上当d=1时，有
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．
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