题目内容

已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
3
，点P (
3
5
5
，-2)在此椭圆上，经过椭圆的左焦点F，斜率为K的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当K=1时，求S△AOB的值．
分析：（Ⅰ）利用离心率为
2
3
，点P (
3
5
5
，-2)在此椭圆上，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求出弦长，求出点到直线的距离，即可求S△AOB的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，
c
a
=
2
3
3
5
a2
+
4
b2
=1
a2=b2+c2
，所以a=3，b=
5
，所以椭圆Γ的方程为
x2
9
+
y2
5
=1；
（Ⅱ）∵K=1，F（-2，0），∴设直线方程为y=x+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组
y=x+2
x2
9
+
y2
5
=1
，整理得14x2+36x-9=0，x1+x2=-
18
7
，x1x2=-
9
14
，
∴|AB|=
2
|x1-x2|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
30
7
，
设O点到直线AB的距离为d，则d=
|0-0+2|
2
=
2
．
∴S△AOB=
1
2
d•|AB|=
1
2
×
2
×
30
7
=
15
2
7
．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），P为椭圆C上任意一点，且cos∠F1PF2的最小值为
1
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动圆x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）与椭圆C相交于A、B、C、D四点，当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：
    ①点S恒在椭圆C上；
    ②求△MST面积的最大值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，离心率为
1
2
，F1，F2分别为其左右焦点，椭圆上点P到F1与F2距离之和为4，
（1）求椭圆C1方程．
（2）若一动圆过F2且与直线x=-1相切，求动圆圆心轨迹C方程．
（3）在（2）轨迹C上有两点M，N，椭圆C1上有两点P，Q，满足
MF2
与
NF2
共线，
PF2
与
QF2
共线，且
PF2
•
MF2
=0，求四边形PMQN面积最小值．
已知椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），长轴两端点A、B，短轴上端顶点为M，点O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C1的方程；
（II）直线l1过椭圆C1的左焦点F1，且与x轴垂直，动直线l2垂直于直线l2，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（III）设C2上的两个不同点R、S满足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范围（O为坐标原点）．

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