题目内容

已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
3
,点P (
3
5
5
,-2)
在此椭圆上,经过椭圆的左焦点F,斜率为K的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)当K=1时,求S△AOB的值.
分析:(Ⅰ)利用离心率为
2
3
,点P (
3
5
5
,-2)
在此椭圆上,建立方程组,求出几何量,即可求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,求出弦长,求出点到直线的距离,即可求S△AOB的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意,
c
a
=
2
3
3
5
a2
+
4
b2
=1
a2=b2+c2
,所以a=3,b=
5
,所以椭圆Γ的方程为
x2
9
+
y2
5
=1

(Ⅱ)∵K=1,F(-2,0),∴设直线方程为y=x+2,A(x1,y1),B(x2,y2
联立方程组
y=x+2
x2
9
+
y2
5
=1
,整理得14x2+36x-9=0,x1+x2=-
18
7
x1x2=-
9
14

|AB|=
2
|x1-x2|=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
30
7

设O点到直线AB的距离为d,则d=
|0-0+2|
2
=
2

S△AOB=
1
2
d•|AB|=
1
2
×
2
×
30
7
=
15
2
7
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.
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