题目内容
已知椭圆Γ:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,点P (
,-2)在此椭圆上,经过椭圆的左焦点F,斜率为K的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)当K=1时,求S△AOB的值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
3 |
3
| ||
5 |
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)当K=1时,求S△AOB的值.
分析:(Ⅰ)利用离心率为
,点P (
,-2)在此椭圆上,建立方程组,求出几何量,即可求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,求出弦长,求出点到直线的距离,即可求S△AOB的值.
2 |
3 |
3
| ||
5 |
(Ⅱ)设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,求出弦长,求出点到直线的距离,即可求S△AOB的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意,
,所以a=3,b=
,所以椭圆Γ的方程为
+
=1;
(Ⅱ)∵K=1,F(-2,0),∴设直线方程为y=x+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程组
,整理得14x2+36x-9=0,x1+x2=-
,x1x2=-
,
∴|AB|=
|x1-x2|=
•
=
,
设O点到直线AB的距离为d,则d=
=
.
∴S△AOB=
d•|AB|=
×
×
=
.
|
5 |
x2 |
9 |
y2 |
5 |
(Ⅱ)∵K=1,F(-2,0),∴设直线方程为y=x+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程组
|
18 |
7 |
9 |
14 |
∴|AB|=
2 |
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
30 |
7 |
设O点到直线AB的距离为d,则d=
|0-0+2| | ||
|
2 |
∴S△AOB=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
30 |
7 |
15
| ||
7 |
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.

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