题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.
【答案】(1)b=,定义域为(3,+∞);(2)见解析;(3)a的取值范围为(3,6].
【解析】试题分析:(1)先根据极值定义得x=-为导函数f'(x)的极值点,再根据f
=0得b关于a的函数关系式,最后根据有极值条件得b-
0,解得定义域;(2)因为
.所以根据导数可得其单调性,根据单调性可证不等式(3)根据韦达定理化简f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和
+2,消去b得-
a2+
,再利用导数研究其单调性,根据单调性解不等式,即得a的取值范围.
试题解析:(1)解 由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-
.
当x=-时,f'(x)有极小值b-
.
因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,
所以f=-
+1=0,又a>0,故b=
.
因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b-(27-a3)≤0,即a≥3.
当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,
x2=.
列表如下:
x | (-∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
故f(x)的极值点是x1,x2.
从而a>3.
因此b=,定义域为(3,+∞).
(2)证明 由(1)知,.
设g(t)=,则g'(t)=
.
当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在
上单调递增.
因为a>3,所以a>3
,故g(a
)>g(3
)=
,即
.
因此b2>3a.
(3)解 由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,
.
从而f(x1)+f(x2)=+a
+bx1+1+
+a
+bx2+1=
(3
+2ax1+b)+
(3
+2ax2+b)+
a(
)+
b(x1+x2)+2=
+2=0.
记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-
a2+
,
所以h(a)=-a2+
,a>3.
因为h'(a)=-a-
<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.
因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.
因此a的取值范围为(3,6].
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
售出水量 | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入 | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21-50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.
(1)若与
成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?
(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为
,不获得奖学金的概率均为
,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和
的分布列及数学期望;
附:回归方程,其中
.