题目内容
已知四边形
满足
∥
，
，
是的中点，将
沿着
翻折成
，使面
面
，
为
的中点.
（Ⅰ）求四棱
的体积；
（Ⅱ）证明：
∥面
；
（Ⅲ）求面
与面
所成二面角的余弦值.
满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点. （Ⅰ）求四棱
的体积；（Ⅱ）证明：
∥面；（Ⅲ）求面
与面所成二面角的余弦值.（Ⅰ）取的中点
连接
，因为，
为等边三角形，则
，又因为面面，所以
面，
所以
…………4分
（Ⅱ）连接
交
于
，连接
，因为为菱形，
，又为的中点，所以
∥，所以∥面……………7分
（Ⅲ）连接
，分别以
为
轴
则
……9分
设面的法向量
，
，令
，则
设面的法向量为
，
，令
，则
……11分
则
，所以二面角的余弦值为
的中点连接，因为，为等边三角形，则，又因为面面，所以面，所以
…………4分（Ⅱ）连接
交于，连接，因为为菱形，，又为的中点，所以∥，所以∥面……………7分（Ⅲ）连接
，分别以为轴则
……9分设面
的法向量，，令，则设面
的法向量为，，令，则……11分则
，所以二面角的余弦值为略
练习册系列答案
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是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( )
的内切圆面积为
，外接圆面积为
，则
，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体
的内切球体积为
，外接球体积为
，则
（ ）
，BC=AD=
与
的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为_ 
中，
,
, 
,点
的中点，
//平面
； 
的体积.
、
、
三点，
，球心
到平面
距离是
，则
，
，
，试求它的外接球的表面积和体积。