题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数,
),
(
,
),
⑴若,
.求
在
上的最大值
的表达式;
⑵若时,方程
在
上恰有两个相异实根,求实根
的取值范围;
⑶若,
,求使
得图像恒在
图像上方的最大正整数
.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用分类整合思想求解;(2)依据题设运用化归转化的数学思想进行探求;(3)依据题设构造函数,运用导数的知识求解.
试题解析:
(1)时,
,
;
①当时,
,
在
上为增函数,此时
,
②当时,
,
在
上为增函数,
故在
上为增函数,此时
…………………………………2分
③当时,
,
在
上为增函数,在
上为减函数,
若,即
时,故
在
上为增函数,在
上为减函数,
此时………………………………5分
若,即
时,
在
上为增函数,则此时
,
综上所述:………………………………6分,
(2),
,
在
上单调递减,在
上单调递增,……………7分
在
上恰有两个相异实根,
,
实数
的取值范围是
,…………………………………10分
(3)由题设:,
,(*)
,故
在
上单调递减,在
上单调递增,
(*)
,
设,则
,
在
上单调递增,在
上单调递减,…………………………12分
而,
且,
故存在,使
,
且时,
,
时,
,
又,
,
时,使
的图像恒在
图像的上方的最大整数
………………14分.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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