Question

14．已知x＞0，y＞0，求证：$\frac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}≥\sqrt{y}-\frac{x}{\sqrt{y}}$．

Answer 1

分析 由x，y＞0，运用基本不等式可得$\sqrt{x}$+$\frac{y}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{y}$，$\sqrt{y}$+$\frac{x}{\sqrt{y}}$≥2$\sqrt{x}$，累加变形，即可得证．

解答 证明：由x，y＞0，可得
$\sqrt{x}$+$\frac{y}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{y}{\sqrt{x}}}$=2$\sqrt{y}$，
$\sqrt{y}$+$\frac{x}{\sqrt{y}}$≥2$\sqrt{\sqrt{y}•\frac{x}{\sqrt{y}}}$=2$\sqrt{x}$，
两式相加，可得：
$\frac{x}{\sqrt{y}}$+$\frac{y}{\sqrt{x}}$≥$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$，
即有$\frac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}≥\sqrt{y}-\frac{x}{\sqrt{y}}$，
当且仅当x=y等号成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，属于中档题．