Question

5．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求其前n项和S_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\sqrt{\frac{n}{{S}_{n}}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{2}{3}$$\sqrt{3n+2}$．

Answer 1

分析 （1）令n=1求得首项，再由数列的通项和求和的关系：由a_n=S_n-S_n-1，化简整理，由等差数列的通项公式和求和公式，即可得到；
（2）化简数列b_n，由放缩法和分母有理化，结合裂项相消求和，即可得证．

解答 （1）解：由S_n=na_n-3n（n-1），可得
S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2×1和a₂=11，
可得a₁=5；
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1
得a_n=na_n-3n（n-1）-（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2）
即有（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1）
$⇒{a_n}-{a_{n-1}}=6（n≥2，n∈{N^*}）$，
∴数列{a_n}是首项a₁=5，公差为6的等差数列，
∴a_n=a₁+6（n-1）=6n-1，
∴${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=3{n^2}+2n$；
（2）证明：∵${b_n}=\sqrt{\frac{n}{S_n}}=\frac{1}{{\sqrt{3n+2}}}=\frac{2}{{2\sqrt{3n+2}}}＜\frac{2}{{\sqrt{3n-1}+\sqrt{3n+2}}}$
=$\frac{{2（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）}}{{（\sqrt{3n+2}+\sqrt{3n-1}）（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）}}=\frac{2}{3}（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{2}{3}[（\sqrt{5}-\sqrt{2}）+（\sqrt{8}-\sqrt{5}）+…+（\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}）]$
=$\frac{2}{3}（\sqrt{3n+2}-\sqrt{2}）＜\frac{2}{3}\sqrt{3n+2}$．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质证明不等式，属于中档题．