题目内容
【题目】【2015江苏高考，18】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
的离心率为
，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
【答案】（1）
（2）
或
．
【解析】
试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为
，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.
试题解析：（1）由题意，得
且
，
解得
，
，则
，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当
轴时，
，又
，不合题意．
当
与
轴不垂直时，设直线
的方程为
，
，
，
将
的方程代入椭圆方程，得
，
则
，
的坐标为
，且
．
若
，则线段
的垂直平分线为
轴，与左准线平行，不合题意．
从而
，故直线
的方程为
，
则
点的坐标为
，从而
．
因为
，所以
，解得
．
此时直线
方程为或．
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