Question

17．已知a＞1，函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t），当x∈（-1，1），t∈[4，6]时，存在g（x）≤f（x）+4成立，则a的最小值为2．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=g（x）-f（x），把f（x）和g（x）代入到F（x），然后利用对数的运算性质化简，转化为关于a的不等式，再运用基本不等式即可．

解答 解：令F（x）=g（x）-f（x），
∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），
∴x∈（-1，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）-f（x）有最小值是4，
由F（x）=g（x）-f（x）=log_a $\frac{（2x+t）^{2}}{x+1}$，x∈（-1，1），t∈[4，6），a＞1，
∴令h（x）=$\frac{（2x+t）^{2}}{x+1}$=4（x+1）+4（t-2）+$\frac{{（t-2）}^{2}}{x+1}$，
∵-1＜x＜1，4≤t＜6，
∴h（x）=4（x+1）+$\frac{{（t-2）}^{2}}{x+1}$+4（t-2）在（-1，0]上单调递减，在[0，1）上单调递增，
∴h（x）_min=h（0）=4+（t-2）²+4（t-2）=[（t-2）+2]²=t²，
∴F（x）_min=log_at²=4，
∴a⁴=t²；
∵4≤t＜6，
∴a⁴=t²≥16，
∴a≥2．
故a的最小值为2，
故答案为：2．

点评 此题考查对数的运算性质，要求学生灵活运用对数运算的性质，熟练运用化归思想解决恒成立问题，易错点在于h（x）=4（x+1）+$\frac{{（t-2）}^{2}}{x+1}$+4（t-2），该先把最小值解出，再令它等于4，转化为在t∈[4，6）上有解，属于难题．