题目内容

6.已知设Sn为等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,求$\frac{{a}_{2}•{a}_{7}}{{a}_{{4}^{2}}}$的值.

分析 设等比数列{an}的公比为q,由于S4=5S2,可得${a}_{1}(1+q+{q}^{2}+{q}^{3})$=5a1(1+q),解得q.再利用等比数列的通项公式可得$\frac{{a}_{2}•{a}_{7}}{{a}_{{4}^{2}}}$=q.

解答 解:设等比数列{an}的公比为q,
∵S4=5S2
∴${a}_{1}(1+q+{q}^{2}+{q}^{3})$=5a1(1+q),
化为(1+q)(q-2)(q+2)=0,
解得q=-1,±2.
∴$\frac{{a}_{2}•{a}_{7}}{{a}_{{4}^{2}}}$=$\frac{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{6}}{({a}_{1}{q}^{3})^{2}}$=q=-1或±2.

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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