题目内容
【题目】设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.
(Ⅰ)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;
(Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时, 
>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
【答案】 (Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)读懂新定义{cn}的含义,即可求得{cn}的通项公式;
(Ⅱ)结合新定义,通过对d1的分类讨论,进而证明.
试题解析：
(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,
c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,
c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=
.
当n≥3时,
(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,
所以bk-nak关于k∈N*单调递减.
所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.
所以对任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,
所以{cn}是等差数列.
(Ⅱ)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则
bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n
=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).
所以cn=
①当d1>0时,
取正整数m>
,则当n≥m时,nd1>d2,因此cn=b1-a1n.
此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
②当d1=0时,对任意n≥1,
cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).
此时,c1,c2,c3,…,cn,…是等差数列.
③当d1<0时,
当n>
时,有nd1<d2.
所以
=n(-d1)+d1-a1+d2+
≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.
对任意正数M,取正整数m>max{
,
},
故当n≥m时, 
>M.
【题目】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个） | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的时间y（小时） | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程
＝bx＋a，
（3）试预测加工20个零件需要多少小时？
