Question

【题目】某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入 （x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为 ，根据销售的总收人不低于原收入，有 ，整理得x2﹣65x+1000≤0，
解得25≤x≤40．
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（Ⅱ）依题意，x＞25时，
不等式 有解，
等价于x＞25时， 有解
∵ （当且仅当x=30时，等号成立），
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
【解析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为 ，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式 有解，等价于x＞25时， 有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．