Question

18．已知函数f（x）=x²+（a+2）x+2．
（1）若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
（2）求函数f（x）在区间[-5，5]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，则$\frac{-a-2}{2}$≤-5，或$\frac{-a-2}{2}$≥5，解得实数a的取值范围．
（2）分类讨论给定区间与函数对称轴的关系，结合二次函数的图象和性质，求出各种情况下g（a）的表达式，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：函数f（x）=x²+（a+2）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{-a-2}{2}$为对称轴的抛物线，
（1）若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，
则$\frac{-a-2}{2}$≤-5，或$\frac{-a-2}{2}$≥5，
解得：a≤-12，或a≥8；
（2）当$\frac{-a-2}{2}$≤-5，即a≥8时，函数f（x）在区间[-5，5]上为增函数，
当x=-5时，函数f（x）的最小值g（a）=-5a+17；
当-5＜$\frac{-a-2}{2}$＜5，即-12＜a＜8时，函数f（x）在区间[-5，$\frac{-a-2}{2}$]上为减函数，在区间[$\frac{-a-2}{2}$，5]上为增函数，
当x=$\frac{-a-2}{2}$时，函数f（x）的最小值g（a）=$\frac{-{a}^{2}-4a+4}{4}$；
当$\frac{-a-2}{2}$≥5，即a≤-12时，函数f（x）在区间[-5，5]上为减函数，
当x=5时，函数f（x）的最小值g（a）=5a+37；
综上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}5a+37，a≤-12\\ \frac{-{a}^{2}-4a+4}{4}，-12＜a＜8\\-5a+17，a≥8\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．