题目内容
设函数f（x）=x3-2ex2+mx-lnx，记g（x）=
，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
| f(x) |
| x |
A、（-∞，e2+
| ||||
B、（0，e2+
| ||||
C、（e2+
| ||||
D、（-e2-
|
考点：利用导数研究函数的极值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3-2ex2+mx-lnx=0有解，则m=
=-x2+2ex+
，求导求函数m=-x2+2ex+
的值域，从而得m的取值范围．
| -x3+2ex2+lnx |
| x |
| lnx |
| x |
| lnx |
| x |
解答：
解：∵f（x）=x3-2ex2+mx-lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）=
，
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x3-2ex2+mx-lnx至少有一个零点；
即方程x3-2ex2+mx-lnx=0有解，
则m=
=-x2+2ex+
，
m′=-2x+2e+
=-2（x-e）+
；
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=-x2+2ex+
在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤-e2+2•e•e+
=e2+
；
又∵当x+→0时，m=-x2+2ex+
→-∞，
故m≤e2+
；
故选A．
又∵g（x）=
| f(x) |
| x |
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x3-2ex2+mx-lnx至少有一个零点；
即方程x3-2ex2+mx-lnx=0有解，
则m=
| -x3+2ex2+lnx |
| x |
| lnx |
| x |
m′=-2x+2e+
| 1-lnx |
| x2 |
| 1-lnx |
| x2 |
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=-x2+2ex+
| lnx |
| x |
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤-e2+2•e•e+
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
又∵当x+→0时，m=-x2+2ex+
| lnx |
| x |
故m≤e2+
| 1 |
| e |
故选A．
点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．
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