Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（

2

，0），右顶点为A（1，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l经过双曲线C的右顶点A且斜率为k（k＞0），若直线l与双曲线C的另一个交点为B，且

OA

•

OB

＞3（其中O为原点），求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由已知得

c= 2 a=1 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线C的方程．（2）直线l的方程为y=k（x-1），联立

x2-y2=1 y=k(x-1)

，得（1-k²）x²+2k²x-k²-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（

2

，0），右顶点为A（1，0），
∴设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
且

c= 2 a=1 c2=a2+b2

，解得a=b=1，
∴双曲线C的方程为x²-y²=1．
（2）∵直线l经过双曲线C的右顶点A（1，0），且斜率为k（k＞0），
∴直线l的方程为y=k（x-1），
联立

x2-y2=1 y=k(x-1)

，得（1-k²）x²+2k²x-k²-1=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-k2≠0 (2k2)2-4(1-k2)(-k2-1)＞0

，
解得k≠±1，
设B（x_B，y_B），由A（1，0），
得1+x_B=

2k2

k2-1

，x_B=

k2+1

k2-1

，
∵

OA

•

OB

＞3，
∴x_Ax_B+y_Ay_B=

k2+1

k2-1

＞3，
解得1＜k＜

2 3

3

或-

2 3

3

＜k＜-1．
∴故k的取值范围为（-

2 3

3

，-1）∪（1，

2 3

3

）．

点评：本题考查双曲线的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．