Question

已知一几何体的直观图和三视图如下图示：

假设点E是AB上的动点，试根据以上图形提供的信息解决以下问题．
（1）三棱锥C-DED₁的体积是否与点E的位置有关？说明理由；
（2）当异面直线AD₁与EC所成角为60°时，请确定动点E的位置；
（3）在（2）的条件下，求证平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer 1

分析：（1）三棱锥C-DED₁的体积与点E的位置无关，因为VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•S△DEC•DD1，所以不论点E在AB上的任何位置都有S△DEC=

1

2

SABCD，所以三棱锥的体积为定值．
（2）作AE'∥CE交CD于E'，可得AE'=D₁E'，进而得到AD₁E'为正三角形，所以AE=DE'=1，这时点E为AB的中点．
（3）由（2）知，E为AB的中点，所以∠AED=∠BEC=45°所以CE⊥DE，由题意可得CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D，所以CE⊥平面D₁ED．进而得到面面垂直．

解答：解：由该几何体的三视图知，ABCD为矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2．
（1）三棱锥C-DED₁的体积与点E的位置无关，
这是∵VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•S△DEC•DD1
∵不论点E在AB上的任何位置都有S△DEC=

1

2

S平行四边形ABCD=

1

2

×2×1=1
∴不论点E在AB上的任何位置都有VC-DED1=

1

3

×1×1=

1

3

（2）作AE'∥CE交CD于E'，
∵AD=DD₁=1，∴AE'=D₁E'，
又异面直线AD₁与EC所成角为60⁰，∴△AD₁E'为正三角形，
从而AE=DE'=1，这时点E为AB的中点．
（3）由（2）知，E为AB的中点，∴△DAE与△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，
又∵D₁D⊥平面ABCD，EC?平面ABCD
∴CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D
∴CE⊥平面D₁ED
∵EC?平面D₁EC
∴平面DED₁⊥平面D₁EC．

点评：解决三棱锥的体积问题关键是找到其膏与底面，对于动点问题一般先找线段的端点或线段的中点，证明面面垂直的方法是在其中一个平面内找另一个平面的垂线即可，此类题目在高考中经常以解答题的形式出现．