Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于两点，交轴于点，满足，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

（1）设出右焦点的坐标，通过点到直线距离公式，可以求出的值，根据已知可知离心率，进而可以求出的值，利用，可以求出，最后求出椭圆的标准方程；

（2）设出直线交椭圆于两点的坐标，利用，可以求出两点纵坐标的关系，直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，可以求出直线的斜率，进而求出直线的方程.

（1）设右焦点为，则，或 （舍去）．

又离心率，即，解得，则，

故椭圆的方程为.

（2）设，因，

所以，　①，

易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，

于是设的方程为，联立消去得，

因为，所以直线与椭圆相交．

于是　②，　③，

由①②得，，代入③整理得.

所以直线的方程是或.