题目内容
【题目】已知函数
⑴若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
⑵若(
为自然对数的底数),证明:当
时,
【答案】(1);
(2)见解析.
【解析】
(1)对函数进行求导,由题意可知在
上恒成立,
即恒成立,构造新函数令
,求导,研究新函数的单调性,求出新函数的最大值,这样就可以求出实数
的取值范围;
(2)当时,要证
,即证
. 又
,只需证
,即证
.
,求导,研究它的单调性,求出它的最小值;设
,求导,研究它的单调性,求出它的最大值,这样命题得证.
(1)【解】,因为函数
在
上单调递增,所以
在
上恒成立,即
恒成立.
令,则
, 由
,解得
,
故函数在
上单调递增,在
上单调递减,则
, 即
,所以
的取值范围是
.
(2)【证明】当时,要证
,即证
.
又,只需证
,即证
.
设,则
,令
,解得
故函数在
上单调递减,在
上单调递增,即
,
从而有.
设,则
,令
,解得
,
故函数在
上单调递增,在
上单调递减, 即
,
从而有.
因为和
不同时为0,所以
,故原不等式成立.
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