题目内容
【题目】已知抛物线,焦点为
,点
在抛物线
上,且
到
的距离比
到直线
的距离小1.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点为直线
上的任意一点,过点
作抛物线
的切线
与
,切点分别为
,求证:直线
恒过某一定点.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据抛物线定义可得直线为抛物线的准线,即得
,(2)关键求出直线AB方程,先设切点
的坐标,利用导数几何意义可得切线斜率,进而根据点斜式可得切线方程,求两切线方程交点可得点
坐标,由于点
在直线
上,所以可得
.最后联立AB方程
与抛物线方程,利用韦达定理得
,即得直线
恒过定点
.
试题解析:(1)因为到
的距离与
到直线
的距离相等,由拋物线定义知,直线
为抛物线的准线,所以
,得
,所以抛物线
的方程为
.
(2)设切点的坐标分别为
,由(1)知,
.
则切线的斜率分别为
,
,
故切线 的方程分别为
,
,
联立以上两个方程,得故
的坐标为
.
因为点在直线
上,所以
,即
.
设直线的方程为
,代入抛物线方程
,得
,所以
,即
,所以
.
故的方程为
,故直线
恒过定点
.
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