题目内容

【题目】已知抛物线,焦点为,点在抛物线上,且的距离比到直线的距离小1.

(1)求抛物线的方程;

(2)若点为直线上的任意一点,过点作抛物线的切线,切点分别为,求证:直线恒过某一定点.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析:(1)根据抛物线定义可得直线为抛物线的准线,即得(2)关键求出直线AB方程,先设切点的坐标,利用导数几何意义可得切线斜率,进而根据点斜式可得切线方程,求两切线方程交点可得点坐标,由于在直线上,所以可得.最后联立AB方程与抛物线方程,利用韦达定理得,即得直线恒过定点.

试题解析:(1)因为的距离与到直线的距离相等,由拋物线定义知,直线为抛物线的准线,所以,得,所以抛物线的方程为.

(2)设切点的坐标分别为,由(1)知, .

则切线的斜率分别为,,

故切线 的方程分别为, ,

联立以上两个方程,得的坐标为.

因为点在直线上,所以,即.

设直线的方程为,代入抛物线方程,得,所以,即,所以.

的方程为,故直线恒过定点.

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