题目内容

（2011•洛阳二模）已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F1（-2，0）为左焦点，点M（
2
，
3
）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设L3与椭圆C相交于点A，B．l2 与椭圆C相交于点D．E，求
AD
•
EB
的最小值．
分析：（1）由题意可求椭圆C的右焦点F2，然后由点M在椭圆上，结合椭圆定义可知2a=MF1+MF2，可求a，进而可求b，即可求解
（2）设直线l1的方程x=ny-2（n≠0），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求y1+y2，y1y2，由l1⊥l2，可求直线l2的方程，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可求y3+y4，y3y4，然后利用
AD
•
EB
=（
AF1
+
F1D
）•（
EF1
+
F1B
）=
AF1
•
EF1
+
AF1
•
F1B
+
F1D
•
EF1
+
F1D
•
F1B
，利用向量的数量积的坐标表示即可求解，利用基本不等式可求最小值
解答：解：（1）∵椭圆C的左焦点F1（-2，0）
∴c=2，右焦点F2（2，0）
∵点M（
2
，
3
）在椭圆上
∴2a=MF1+MF2=
(2+
2
)2+3
+
(
2
-2)2+3
=
9+4
2
+
9-4
2
=4
2

∴a=2
2
，b=2
∴椭圆C的方程
x2
8
+
y2
4
=1
（2）设直线l1的方程x=ny-2（n≠0）
由
x=ny-2
x2
8
+
y2
4
=1
可得（2+n2）y2-4ny-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
4n
2+n2
，y1y2=-
4
2+n2

∵l1⊥l2，
∴直线l2的方程x=-
1
n
y-2（n≠0）
设D（x3，y3），E（x4，y4），则y3+y4=
-
4
n
(-
1
n
)2+2
=
-4n
1+2n2
，y3y4=-
4n2
2n2+1

∵
AD
•
EB
=（
AF1
+
F1D
）•（
EF1
+
F1B
）
=
AF1
•
EF1
+
AF1
•
F1B
+
F1D
•
EF1
+
F1D
•
F1B

=（-2-x1，-y1）•（2+x2，y2）+（2+x3，y3）•（-2-x4，-y4）
=-（x1x2+2x1+2x2+4+y1y2）-（x3x4+2x3+2x4+4+y3y4）
∵x1x2+2x1+2x2+4+y1y2=（ny1-2）（ny2-2）+2ny1-4+2ny2-4+4+y1y2
=（1+n2）y1y2
同理（x3x4+2x3+2x4+4+y3y4）=
1+n2
n2
y3y4
∴
AD
•
EB
=-[（1+n2）y1y2+
1+n2
n2
y3y4]
=4（
1+n2
2+n2
+
1+n2
2n2+1
）
=(1+n2)•
12(1+n2)
(n2+2)(2n2+1)
=
12(1+n2)2
(2+n2)(1+2n2)
≥
12(1+n2)2
(
2+n2+2n2+1
2
)2
=
16
3

当且仅当n2+2=2n2+1即n=±1时
AD
•
EB
取得最小值
16
3
点评：本题主要考查了利用椭圆的定义及性质求解椭圆方程，直线与椭圆相交关系的应用及方程的根与系数关系、向量的数量积的坐标表示的应用，属于知识的综合应用
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(
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