题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
为
的重心,
.
(1)求证:平面
;
(2)若侧面底面
,
,
,求直线
与平面
所成角
的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1) 连接,并延长
,交
于点
,过
作
,交
于点
,分别连接
,只要证明所以平面
平面
,由面面平行的性质可证
平面
;(2)由题意先证明侧面
底面
,由面面垂直的性质可证
平面
,所以可以
为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量以及直线
的方向向量,由空间向量夹角公式求之即可.
试题解析: (1)证明:连接,并延长
,交
于点
,过
作
,交
于点
,分别连接
.
因为是
的重心,所以
.………………1分
又,所以
.
又据三棱柱性质知
,
所以.………………2分
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
又因为,
平面
,
所以平面平面
.………………3分
又因为平面
,
所以平面
.………………4分
(2)连接.
因为,
,
,
所以,
所以,所以
.
因为侧面底面
,侧面
底面
,
平面
,
所以平面
.
因为,
,所以
是等边三角形,
所以.………………6分
以为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
所以.………………8分
设平面的一个法向量为
,则
所以
令得
,………………10分
所以.
所以.即直线
与平面
所成角
的正弦值为
.……………12分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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