Question

已知平面直角坐标系xOy中，A(4+2

3

，2)，B(4，4)，圆C是△OAB的外接圆．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点（2，6）的直线l被圆C所截得的弦长为4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意设出圆的一般式方程，把三点坐标代入列方程组，求出系数；
（2）分两种情况求解：当直线的斜率不存在时，只需要验证即可；当直线的斜率存在时，根据弦的一半、半径和弦心距构成直角三角形来求直线的斜率．

解答：解：（1）设圆C方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，由题意列方程组，

F=0 4D+4E+F+32=0 (4+2 3 )D+2E+F+32+16 3 =0

解得D=-8，E=F=0．
∴圆C：（x-4）²+y²=16．
（2）当斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为4

3

，符合题意；
当斜率存在时，设直线l：y-6=k（x-2），
即kx-y+6-2k=0，
∵被圆截得弦长为4

3

，
∴圆心到直线距离为2，
∴

|4k+6-2k|

1+k2

=2，解得k=-

4

3

，
∴直线l：y-6=-

4

3

(x-2)，即4x+3y-26=0.
故所求直线l为x=2，或4x+3y-26=0．

点评：本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，这是易错出．