Question

9．若x，y＞0，且x+2y=1，则（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{4y}$）的最小值是（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． $\frac{25}{8}$
• D． $\frac{25}{16}$

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质即可求出最小值．

解答 解：（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{4y}$）=xy+$\frac{x}{4y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{1}{4xy}$≥xy+$\frac{1}{4xy}$+2$\sqrt{\frac{x}{4y}•\frac{y}{x}}$=xy+$\frac{1}{4xy}$+1当且仅当x=2y时，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x=2y}\end{array}\right.$，即x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$取等号，
∵1=x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，
∴0＜xy≤$\frac{1}{8}$，
设xy=t，则0＜t≤$\frac{1}{8}$，
令f（t）=t+$\frac{1}{4t}$+1，
f′（t）=1-$\frac{1}{4{t}^{2}}$＜0，在（0，$\frac{1}{8}$]，
则函数f（t）在（0，$\frac{1}{8}$]为减函数，
∴f（t）_min=f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{8}$+2+1=$\frac{25}{8}$，
故（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{4y}$）的最小值是$\frac{25}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查利用基本不等式、函数的单调性求最值问题，以及换元法的应用，考查化简、变形能力．