Question

已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）设点M的坐标是(

1

2

，

3

2

)，求使得函数f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有两个零点的实数k的取值范围

0＜k＜

1

2

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积和两角和的正弦公式可得f(α)=-sin(α+

π

6

)+1-k，再根据正弦函数的图象和单调性即可得出．

解答：解：f（α）=（cosα，sinα）•(cosα-

1

2

，sinα-

3

2

)-k=cosα(cosα-

1

2

)+sinα(sinα-

3

2

)-k=-

1

2

cosα-

3

2

sinα+1-k=-sin(α+

π

6

)+1-k．
化为sin(α+

π

6

)=1-k，
∵α∈[0，π），∴(α+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

)，∴sin(α+

7π

6

)∈(-

1

2

，1]，
要使得函数f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有两个零点，则0＜k＜

1

2

．
故答案为0＜k＜

1

2

．

点评：熟练掌握向量的数量积运算、两角和的正弦公式及其三角函数的图象与性质等是解题的关键．