Question

已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围是（　　）

• A、[

  6

  3

  ，1)
• B、[

  6

  3

  ，

  3

  2

  )
• C、[

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• D、(

  1

  2

  ，

  6

  3

  ]

Answer 1

分析：构建如图的三角形，不妨令正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离，则DG的长度为两者和的一半，下研究DG的取值范围即可．

解答：解：设正△ABC边长为1，则线段AD=

3

2

设B，C到平面α距离分别为a，b，
则D到平面α距离为h=

a+b

2

射影三角形两直角边的平方分别为1-a²，1-b²，
设线段BC射影长为c，则1-a²+1-b²=c²，（1）
又线段AD射影长为

c

2

，
所以（

c

2

）²+

(a+b) 2

4

=AD²=

3

4

，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=

1

2

，
所以sinα=

h

AD

=

a+b

3

≥

2 ab

3

=

2

3

=

6

3

，当a=b=

2

2

时等号成立．
又α是个锐角，当面与面接近于垂直时，等边三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趋近于1，故只能选B．
故选B

点评：考查线面角的求法，本题在做题中，线面角正弦的最小值易求出，而上界不易界定，此时宜根据选项用排除法筛选．