Question

已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为

[

6

3

，

3

2

)

．

Answer 1

分析：根据题意，作图，设正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离分别为a，b，，则DG的长度为两者和的一半，通过解直角三角形用a，b表示出DG，得出sinα的表达式后，再根据条件，利用函数、不等式知识研究其最值．

解答：解：设正△ABC边长为1，则线段AD=

3

2

设B，C到平面α距离分别为a=BE，b=CF，
则D到平面α距离为hDG=

a+b

2

射影三角形两直角边的平方分别为1-a²，1-b²，
设线段BC射影长为c，则1-a²+1-b²=c²，（1）
又线段AD射影长为

c

2

，
所以（

c

2

）²+

(a+b) 2

4

=AD²=

3

4

，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=

1

2

，
所以sinα=

h

AD

=

a+b

3

=

1

3

(a+

1

2a

)≥

2

3

a• 1 2a

=

2

3

=

6

3

，当a=b=

2

2

时等号成立．
此时BC与α平行．
令函数f（a）=a+

1

2a

，0＜a＜1，根据B，C关于D的对称性，不妨研究

2

2

≤a＜1的情形．
由于函数f′（a）=1-

1

2

•

1

a2

=

a2-  1 2

a2

当

2

2

≤a＜1时，f′（a）＞0，
所以f（a）在（

2

2

1）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+

1

2

=

3

2

．，
sinα趋近于

1

3

•

3

2

 =

3

2

所以sinα的取值范围为[

6

3

，

3

2

)
故答案为：[

6

3

，

3

2

)

点评：本题考查线面角的大小度量，考查空间想象、计算、推理论证能力．以及建立数学模型，解决数学模型的能力．