题目内容
16．已知曲线y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，则曲线的切线斜率最小值为-$\frac{1}{4}$．分析 先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最大值，即得到曲线斜率的最大值．
解答 解：∵y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，
∴y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$
∴曲线的切线的斜率k=tanα=y′=-$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$
≥-$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=-$\frac{1}{4}$，
当且仅当ex=e-x即x=0时，等号成立．
∴曲线的切线斜率最小值为-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．
点评 本题考查曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．属于中档题．
练习册系列答案
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