题目内容

11.过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为B,与y轴的交点为C,已知$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,若x轴上存在一定点M(1,0),使得PM⊥QM,求椭圆的方程.

分析 (Ⅰ)设直线AB:y=2(x+a),A(-a,0),C(0,2a),利用$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$,求出B的坐标,代入椭圆方程,求解离心率.
(Ⅱ)设椭圆方程为3x2+4y2-12t=0,联立y=kx+m,利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点,△=0,通过PM⊥QM数量积为0,得到方程.求解可得椭圆方程.

解答 解:(Ⅰ)∵A(-a,0),设直线方程为y=2(x+a),B(x1,y1
令x=0,则y=2a,∴C(0,2a),-------------------(1分)
∴$\overrightarrow{AB}=({x_1}+a,{y_1}),\overrightarrow{BC}=(-{x_1},2a-{y_1})$
∵$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$
∴x1+a=$\frac{6}{13}(-{x_1}),{y_1}=\frac{6}{13}(2a-{y_1})$,整理得${x_1}=-\frac{13}{19}a,{y_1}=\frac{12}{19}a$------------(2分)
∵B点在椭圆上,∴${(\frac{13}{19})^2}+{(\frac{12}{19})^2}•\frac{a^2}{b^2}=1$,∴$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$,
∴$\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$,即$1-{e^2}=\frac{3}{4}$,∴$e=\frac{1}{2}$-------------------(4分)
(Ⅱ)∵$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$,可设b2=3t.a2=4t,∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0
由$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+4{y^2}-12t=0\\ y=kx+m\end{array}\right.$得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0-------------------(5分)
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P
∴△=0,即64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12t)=0
整理得m2=3t+4k2t------------------(8分)                                 
设P(x1,y1)则有${x_1}=-\frac{8km}{{2(3+4{k^2})}}=-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}$,${y_1}=k{x_1}+m=\frac{3m}{{3+4{k^2}}}$
∴$P(-\frac{4km}{{3+4{k^2}}},\frac{3m}{{3+4{k^2}}})$
又M(1,0),Q(4,4k+m)
若x轴上存在一定点M(1,0),使得PM⊥QM,
∴$(1+\frac{4km}{{3+4{k^2}}},-\frac{3m}{{3+4{k^2}}})•(-3,-(4k+m))=0$恒成立
整理得3+4k2=m2,------------------(10分)
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立,故t=1
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$------------------(12分)

点评 本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力,知识综合性强.

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