题目内容

【题目】已知正三棱柱的底面边长为，为的中点，平面与平面所成的锐二面角的正切值是，则四棱锥外接球的表面积为________.

【答案】

【解析】

延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．推导出D也是C1M的中点，AM∥DE，AM⊥平面ACC1A1，可得；再根据四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱ABC-的外接球，找到球心位置，根据勾股数求得半径，即可得到表面积．

如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．

∵B1C1∥BC，D为BB1的中点，∴D也是C1M的中点，

又取E是AC1的中点，∴AM∥DE．

∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ACC1A1．

∴∠C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角．

∴tan∠C1AC，∴，又AC＝，则

又四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的处，又底面外接圆的半径为2r=∴，

∴四棱锥外接球的表面积为，

故答案为19.

练习册系列答案
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(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与性别有关?

(2)从抽出的女性居民中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求的数学期望．

附：

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平均每天锻炼的时间/分钟

总人数

34

51

59

66

65

25

将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；

锻炼不达标

锻炼达标

合计

男

女

40

160

合计

（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？

参考公式：，其中.

临界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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