题目内容

【题目】已知函数fx)=lnxx2+axaR

(Ⅰ)证明lnxx1

(Ⅱ)若a≥1,讨论函数fx)的零点个数.

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析

【解析】

(Ⅰ)令进而求导求最值即可证得;

(Ⅱ)求函数导数,分析单调性,由f10,利用零点存在定理即可得解.

(Ⅰ)证明:令

可得:x∈(01)时,gx)>0,函数gx)单调递增;x∈(1+∞)时,gx)<0,函数gx)单调递减.

∴可得x1时,函数gx)取得极大值即最大值,∴gxg1)=0,即lnxx1

II)解:根据题意,

,解得 ,(负值舍去),

在(0x0)上,,函数fx)单调递增;在(x0+∞)上,,函数fx)单调递减.

fxmaxfx0).

a1时,x01fxmaxf1)=0,此时函数fx)只有一个零点1

a1时,f1)=a10

∴函数fx)在区间和区间(12a)上各有一个零点.

综上可得:当a1时,函数fx)只有一个零点1

a1时,函数fx)有两个零点.

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