题目内容
【题目】已知二次函数的图象的顶点坐标为
,且过坐标原点O,数列
的前n项和为
,点
(
)在二次函数
的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(
),数列
的前n项和为
,若
对
恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,
,
,
,…
,…(
),这些项能够依次构成以
为首项,q(
,
)为公比的等比数列
?若存在,写出
关于k的表达式;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (
) (2)见解析 (3) 存在,
,(
).
【解析】
(1)先求出,通过讨论n的范围,从而得到数列
的通项公式;
(2)通过讨论n的奇偶性,从而求出的表达式,问题转化为使
(n为正偶数)恒成立即可;
(3)通过讨论公比的奇偶性,从而得到答案.
(1)由题意得,
∴(
),
当时,
,
当时,
适合上式,
∴数列的通项公式是:
(
);
(2)∵,(
),
∴
,
由(1)得:数列是以1为首项,公差为
的等差数列,
①当,
时,
,
,
②当,
时,
,
∴,要使
对
恒成立,
只要使(n为正偶数)恒成立,
即使对n为正偶数恒成立.
∴;
(3)由知,数列
中每一项都不可能是偶数,
①如存在以为首项,公比q为2或4的数列
,
,此时
中每一项除第一项外都是偶数,
故不存在以为首项,公比为偶数的数列
;
②时,显然不存在这样的数列
,
时,若存在以
为首项,公比为3的数列
,
,则
,
,
,
,
∴存在满足条件的数列,且
,(
).

【题目】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.
(1)求的值;
(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为消费金额与性别有关?
(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄
进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程
.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)
列联表
男性 | 女性 | 合计 | |
消费金额 | |||
消费金额 | |||
合计 |
临界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中