Question

已知数列{a_n}满足，．
（1）若方程f（x）=x的解称为函数y=f（x）的不动点，求a_n+1=f（a_n）的不动点的值；
（2）若a₁=2，，求证：数列{lnb_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项．
（3）当任意n∈N^*时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据方程不动点的定义，令，解得a_n的值，
（2）把等式两边同时加1和两边同时减1，得到两式相除得，据此可以得数列lnb_n是以-ln3为首项，3为公比的等比数列，于是可以数列{b_n}的通项，
（3）根据，求得数列{}前n项和，然后判断其和与的大小．
解答：解：（1）由方程a_n+1=f（a_n）得，
解得a_n=0，或a_n=-1，或a_n=1．
（2）∵，，
∴两式相除得，
即b_n+1=b_n³．
由a₁=2可以得到b_n＞0，则lnb_n+1=lnb_n³=3lnb_n．
又，得lnb₁=-ln3，
∴数列lnb_n是以-ln3为首项，3为公比的等比数列．
∴，（n∈N^*）．
（3）任意n∈N^*，3^n-1≥n．∴，
∴b₁+b₂+b₃++b_n＜
=＜．
点评：本题主要考查数列求和和求等比数列的通项公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质，还需掌握运用放缩法解答不等式，本题是一道综合性试题，难度一般．